1996 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 10

[matematikolimpiyati]

Matematik olimpiyadında $20$ soru sorulmuştur. Değerlendirmede, her doğru çözülmüş soru için $8$ puan veriliyor, her yanlış çözülmüş soru için $5$ puan geri alınıyor ve hiç çözülmemiş soru için de $0$ puan veriliyor. Olimpiyada katılan bir öğrenci, bu değerlendirmeye göre $13$ puan almışsa, kaç tane problemi (doğru veya yanlış) çözmüştür?

$\textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ 9  \qquad\textbf{c)}\ 12 \qquad\textbf{d)}\ 13 \qquad\textbf{e)}\ 15$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Öğrenci $x$ soruyu doğru $y$ soruyu yanlış çözmüş olsun. $20-x-y$ tane boşu olacaktır. Elimizdeki bilgiler $$x+y\leq 20\text{  ve  }8x-5y=13$$ şeklindedir. Verilen doğrusal denklemi önce $8$, sonra $5$ modunda inceleyelim. $$8x-5y\equiv 3y\equiv 13\equiv -3\pmod{8}\implies y\equiv 7\pmod{8}$$ $$8x-5y\equiv 3x\equiv 13\equiv 3\pmod{5}\implies x\equiv 1\pmod{5}$$ olacaktır. Yani $x=5m+1$ ve $y=8n+7$ olacak şekilde $m,n\geq 0$ tamsayıları vardır. Yerine yazarsak $$5m+8n\leq 12\text{  ve  } m-n=1$$ olacaktır. $m=n+1$ yazarsak $13n+5\leq 12$ ve $n=0$ elde edilir. Dolayısıyla $(m,n)=(1,0)$ ve $(x,y)=(6,7)$ olur. Toplamda $13$ soru çözmüştür.