1996 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 06

[matematikolimpiyati]

Ayşe, Bilge, Canan ve Deniz adlı dört kız bir konser verdiler. Konserde her şarkıyı 3 kız birlikte okudular. En çok şarkıyı Ayşe okudu : 8 şarkı. En az şarkıyı Bilge okudu : 5 şarkı. Konserde toplam kaç şarkı okunmuştur?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 10  \qquad\textbf{c)}\ 11 \qquad\textbf{d)}\ 12 \qquad\textbf{e)}\ 13$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Canan ve Deniz sırayla $c$ ve $d$ şarkı okumuş olsun. $8>c,d>5$ olmalıdır (Bazı yorumlamalara göre sınırlar eşit de olabilir ama bu durumda direkt olarak en çok/az diye tek kişiden bahsedemeyeceğini düşündüğümden eşitlik durumlarını çıkardım). Sonuç olarak $c,d=6,7$ olabilir. Her şarkıyı $3$ kız okuduğundan herkesin söylediği şarkı sayılarının toplamı $3$'ün katı olmalıdır. Dolayısıyla $$a+b+5+8\equiv 0\pmod{3}\implies a+b\equiv 2\pmod{3}$$ olacaktır. Bu sadece $c=d=7$ iken sağlanır. Toplamda $\frac{(8+7+7+5)}{3}=9$ şarkı söylenmiştir.

Örnek durum: Okuyanları isimlerinin baş harfleriyle gösterelim, $ABC, ABC, ABD, ABD, ACD, ACD, ACD, ACD, BCD$.

Not: Eşitlik durumu dahil olsaydı da $8,5,6,5$ ihtimali de eklenecek ve $ABC,ABC,ABC,ABD,ABD,ACD,ACD,ACD$ örnek durumu sayesinde $8$ şarkı söylenebilecekti. Böylelikle soru yanlış olurdu.