1996 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 05

[matematikolimpiyati]

Dört sayının ikişer ikişer toplanmasıyla elde edilen altı sayı küçükten büyüğe doğru dizilince dizilişin ilk dört terimi $1,5,8,9$ oluyor. Son terim nedir?

$\textbf{a)}\ 13 \qquad\textbf{b)}\ 14  \qquad\textbf{c)}\ 15 \qquad\textbf{d)}\ 16 \qquad\textbf{e)}\ 17$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Eğer dört sayıdan aynı olan iki tane varsa $a,b,x,x$ şeklinde olacağından toplamlar $a+b,a+x,a+x,b+x,b+x,2x$ şeklinde olacağından nasıl sıralanırsa sıralansın, tekrar eden sayılardan dolayı $1,5,8,9$ elde edilemez. Dolayısıyla tüm sayılar farklıdır. Bu sayılar $a<b<c<d$ olsun. O halde ikişerli toplamlar küçükten büyüğe $$a+b<a+c<b+c<a+d<b+d<c+d \text{  veya  } a+b<a+c<a+d<b+c<b+d<c+d$$ şeklinde sıralanmalıdır.

Yani iki ihtimal vardır; $a+b=1$, $a+c=5$, $b+c=8$, $a+d=9$ veya $a+b=1$, $a+c=5$, $a+d=8$, $b+c=9$. Her iki durumda da $a+b+c+d=17$ bulunur. $a+b=1$ olduğundan $c+d=16$ olmalıdır. Son terim $16$ bulunur.

Hatta $a+c=5$ olduğundan $b+d=12$ olacaktır ve dizinin tüm elemanları $1,5,8,9,12,16$ elde edilir.