1996 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 04

[matematikolimpiyati]

$|x|+|y|<20$ eşitsizliğinin tam sayı çözümlerinin sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 400 \qquad\textbf{b)}\ 600  \qquad\textbf{c)}\ 661 \qquad\textbf{d)}\ 761 \qquad\textbf{e)}\ 790$

[taftazani44]

$\left| x\right| +\left| y\right|\leq n$
olsun.
Eksenler üzerinde 4(1+2+....+n+1)-3 tane nokta vardır .Ayrıca
4(1+2+3+....+n-1) tane nokta vardır.
toplam$2n^{2}+2n+1$ tane nokta olur.
$\left| x\right| +\left| y\right| \leq 19$
Alırsak,
$2\cdot 19^{2}+2.19+1=400$
Olur.

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Birinci Yol: $|x|=0$ ise $y$'nin alabileceği $-19,-18,\dots,18,19$'dan $39$ değer vardır. Benzer şekilde $|y|=0$ için de $39$ çözüm vardır. $(x,y)=(0,0)$'ı iki kere saydığımızdan bu durumlardan $39+39-1=77$ çözüm gelir. Şimdi $x,y\neq 0$ alalım.

$|x|$ değeri $1,2,\dots,18$ değerlerini alabilir. Her biri için iki tane $x$ değeri vardır. $|x|=k$ için $$|y|<20-k\implies |y|=1,2,\dots,19-k$$ olur. Buradan $2\cdot 2\cdot (19-k)=76-4k$ çözüm gelir. Dolayısıyla $$77+\sum_{k=1}^{18} (76-4k)=77+76\cdot 18-\frac{4\cdot 18\cdot 19}{2}=761$$ çözüm vardır.

İkinci Yol: $|x|+|y|=n$ eşitliğinin $a_n$ çözümü olsun. Bu durumda $|x|+|y|<20$'nin $a_0+a_1+\cdots+a_{19}$ çözümü vardır. İlk birkaç durumu incelersek $a_0=1$, $a_1=4$ bulunur. $a_n$ için $$|x|+|y|=n\implies (|x|,|y|)=(0,n),(1,n-1),\dots,(n,0)$$ bulunur. Buradan da $2+2+4(n-1)=4n$ çözüm vardır, yani $a_n=4n$ olacaktır. Dolayısıyla $$\sum_{k=0}^{19}a_k=1+\sum_{k=1}^{19} 4k=1+\frac{4\cdot 19\cdot 20}{2}=761$$ bulunur.

[Lokman Gökçe]

Üçüncü Yol: $n$ bir pozitif tam sayı iken $|x| + |y| = n$ denklemini sağlayan $(x,y)$ tam sayı ikililerinin sayısı $4n$ dir. Bu ifadenin doğruluğunu görmek zor değildir. $|x| + |y| =n$ denklemi analitik düzlemde bir kare belirtir. Karenin her bir kenarı üzerinde $n$ tane tam sayı koordinatlı nokta oluştuğu düşünülürse, $4$ kenar üzerinde toplam $4n$ tane nokta oluşur. $n=0$ durumunda ise $|x| + |y| = 0$ denkleminden $(x,y)=(0,0)$ şeklinde tek bir çözüm gelir. Bu bilgilere göre,

$|x| + |y| <20$ için toplamda $$ 1 + \sum_{n=1}^{19} 4n = 1 + 4\cdot \dfrac{19\cdot 20}{2} = 761 $$ tane çözüm elde edilir.

[alpercay]

Soruyu Pick teoremi (https://geomania.org/forum/index.php?topic=843.msg2918#msg2918) kullanarak da çözebiliriz:

Oluşan karenin sınırındaki/üzerindeki latis noktalarının sayısı (köşeler hariç bir kenar üzerinde 19 latis noktası ve 4 köşe olduğundan) $4.19+4=80$ tanedir. Yani Pick teoremindeki $B$ değeri $80$ dir. Karenin alanı $A=(20\sqrt{2})^2=800$ olur. İç bölgedeki latis sayısı $I$ ile gösterilirse Pick teoreminden $$A=\dfrac{B}{2}+I-1$$  $$800=I+39$$ yani $I=761$ bulunur.