1996 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 02

[matematikolimpiyati]

$S=1 \cdot (1!)+2 \cdot (2!)+3 \cdot (3!)+...+10 \cdot (10!)$ sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ 11!-1 \qquad\textbf{b)}\ 11!+9  \qquad\textbf{c)}\ 12!-1 \qquad\textbf{d)}\ 12!+9 \qquad\textbf{e)}\ 10 \cdot 11!-1$

[taftazani44]

$\begin{aligned}1\cdot 1!+2\cdot 2!+\ldots +10\cdot 10!\\ =\sum ^{10}_{k=1}k\cdot k!\\ =\sum \left( k+1-1\right) k!\end{aligned}$
                   =  $\sum ^{10}_{k=1}\left( k+1\right) !-k!$
2!-1!
3!-2!
4!-3!
.
.
.
11!-10!
+________
11!-1 olur