1996 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 01

[matematikolimpiyati]

$11^{100}-1$ sayısının sonunda kaç tane sıfır vardır?
 
$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 5$

[taftazani44]

$11^{100}-1=\left( 11-1\right) \left( 11^{99}+\ldots +1\right)$
1111.........1
  111..........1
                    .
                    .
                    .
+____________
                 00(100 tane 1 gelir,onlar basamağı nda 99 tane 1 elde ile beraber 100 olur.
Böylece elde edilen 10(abc......90) sayısı olur.
Yani sondan 2 basamağı 0 olur.

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

İfadeyi açalım, $$11^{100}-1=(10+1)^{100}-1=-1+\sum_{k=0}^{100}\dbinom{100}{k}10^k=\sum_{k=1}^{100}\dbinom{100}{k}10^k$$ olacaktır. İlk birkaç terimi inceleyelim. $$11^{100}-1=100\cdot 10^1+50\cdot 99\cdot 10^2+\dbinom{100}{3}10^3+\cdots=10^3\left(1+495+\dbinom{100}{3}+\dbinom{100}{4}10+\dbinom{100}{5}10^2\cdots\right)$$ olacaktır. Parantez içindeki toplamın $10$'un katı olmadığı barizdir. Dolayısıyla $11^{100}-1$, $10$'nun en fazla üçüncü kuvvetine bölünür. Dolayısıyla son $3$ basamağı $0$'dır.