2000 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 2-3 Soru 07

[geo]

Bir $ABC$ üçgeninin $[AB]$ kenarının orta noktası $D$ ile; $D$, $B$ ve $C$ noktalarından geçen çemberin $[AC]$ kenarı ile (ikinci defa) kesişim noktası $E$ ile gösterilmek üzere, $|AC|=3|AE|$ ve $m(\widehat {EBC}) = 90^\circ$ ise, $|EB|^2 / |BC|^2$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac 73 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac 53  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac 35 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac 37 \qquad\textbf{e)}\ 2$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

$AD=BD=m$ ve $AE=n$ olsun. $EC=2n$ olacaktır.
Çembersellikten $\angle EDC= \angle EBC = 90^\circ$.
$C$ den geçen ve $ED$ ye paralel olan doğru $AB$ yi $F$ de kessin.
Benzerlikten $DF=2m$ ve dolayısıyla $BF = BD = m$ olacaktır.
Paralellikten $\angle FCD = \angle EDC = 90^\circ$ olduğu için $DCF$ dik üçgeninde $BD = DF = CB = m$ dir.

Bu durumda $EB^2 = EC^2 - CB^2 = 4n^2 - m^2$ ve $$\dfrac {EB^2}{EC^2} = 4\cdot \dfrac {n^2}{m^2} - 1 \tag {1}$$ elde edilir.
$A$ noktasının çembere göre kuvvetinden $$AD \cdot AB= AE\cdot AC \Longrightarrow 2m^2 = 3n^2 \Longrightarrow \dfrac {n^2}{m^2} = \dfrac 23 \tag {2}$$ bulunur. $(1)$ ve $(2)$ yi birleştirdiğimizde $$\dfrac {EB^2}{EC^2} = \dfrac 53$$ elde ederiz.