2000 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 2-3 Soru 06

[geo]

Tüm pozitif tamsayılardan oluşan küme $\mathbf N$ ile gösterilmek üzere, $f: \mathbf N \to \mathbf N$ fonksiyonu

• $m$ ve $n$ aralarında asal olunca, $f(mn)=f(m)f(n)$;
• $p$ ve $q$ asal olunca, $f(p+q)=f(p)+f(q)$

özelliklerine sahipse, $f(100)$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 29 \qquad\textbf{b)}\ 50  \qquad\textbf{c)}\ 70 \qquad\textbf{d)}\ 125 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[geo]

Yanıt: $\boxed {E}$

$f(6) = f(2\cdot 3) = f(2)f(3)$
$f(6) = f(3+3) = f(3) + f(3) = 2f(3)$
$f(6) = f(2)f(3) = 2f(3) \Rightarrow f(2) = 2$

$f(4) = f(2 + 2) = 2f(2) = 4$

$f(100) = f(4 \cdot 25) = f(4)f(25) = 4f(25)$.

Bu durumda $4 \mid f(100)$ olmalı. Şıklardan hiçbiri $4$ ile bölünmez.

[geo]

$f(x) = x$ in sağladığı kolayca görülebilir. Bu durumda $f(100) = 100$ elde edilir.

[geo]

$f(6) = f(2\cdot 3) = f(2)f(3)$
$f(6) = f(3+3) = f(3) + f(3) = 2f(3)$
$f(6) = f(2)f(3) = 2f(3) \Rightarrow f(2) = 2$

$f(4) = f(2 + 2) = 2f(2) = 4$

$f(5) = f(2+3) = f(2) + f(3) = 2 + f(3)$

$f(7) = f(2+5) = f(2) + f(5) = 4 + f(3)$

$f(12) = f(3\cdot 4) = f(3)f(4) = 4f(3)$
$f(12) = f(5+7) = f(5) + f(7) = 6 + 2f(3)$
$f(12) = 4f(3) = 6 + 2f(3) \Rightarrow f(3) = 3$

Öyleyse $f(5) = 5$ ve $f(7) = 7$ elde edilir.

$f(28) = f(4\cdot 7) = f(4) f(7) = 28$
$f(28) = f(5 + 23) = f(5) + f(23) = 5 + f(23) \Rightarrow f(23) = 23$

$f(25) = f(2 + 23) = f(2) + f(23) = 25$

$f(100) = f(4\cdot 25) = f(4) f(25) = 100$.