2000 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1 Soru 01

[geo]

$(x_1 + x_2 + \dots +x_{19} + x_{20})^3$ ifadesinin açılımında, benzer terimler toplandıktan sonra ortaya çıkan ifade kaç terimlidir? (Örnek : $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ ifadesi dört terimlidir.)

$\textbf{a)}\ 1550 \qquad\textbf{b)}\ 1540  \qquad\textbf{c)}\ 1570 \qquad\textbf{d)}\ 400 \qquad\textbf{e)}\ 8000$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$


$\alpha_i$ negatif olmayan tam sayılar olmak üzere; herhangi bir terim $a_kx_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_{20}^{\alpha_{20}}$ şeklinde yazılabilir.
Bu durumda problem, $\alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_{20} = 3$ ile özdeştir.

Tekrarlı kombinasyondan $\dbinom{3 + 20 - 1}{20-1} = \dbinom{22}{19} = \dbinom{22}{3} = 1540$ elde edilir.