2000 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 2-3 Soru 03

[geo]

$m$ ve $n$ sayıları $2520$ sayısının pozitif bölenleri olmak üzere, $(m,n)$ ikililerini düşününüz. Bu ikililerden kaç tanesi için $n$ sayısı $m$'yi tam böler?

$\textbf{a)}\ 270 \qquad\textbf{b)}\ 540  \qquad\textbf{c)}\ 250 \qquad\textbf{d)}\ 455 \qquad\textbf{e)}\ 500$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

$m \mid 2520$ olduğu için $mp = 2520$ olacak şekilde bir $p$ pozitif tam sayısı vardır.
$n \mid m$ olduğu için $m = nq$ olacak şekilde bir $q$ pozitif tam sayısı vardır.
Bu durumda $npq = 2520 = 2^33^25^17^1$ olacaktır.

Soru, "Üç çocuğa ($n,p,q$); $3$ portakal, $2$ elma, $1$ muz, $1$ kivi kaç farklı şekilde dağıtılır?" sorusu ile özdeş hale geldi.

Tekrarlı kombinasyondan ${3 + 3-1 \choose 3-1}{2 + 3-1 \choose 3-1}{1 + 3-1 \choose 3-1}{1 + 3-1 \choose 3-1} = {5 \choose 2}{4 \choose 2}{3 \choose 2}{3 \choose 2} = 10\cdot 6 \cdot 3 \cdot 3 = 540$ elde edilir.