2000 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 2-3 Soru 02

[geo]

$a,b,c \in \mathbf Z$ olmak üzere; $ax^2 + bx + c$ denkleminin diskrimantının $47$ olmasını sağlayan kaç $(a,b,c)$ üçlüsü vardır?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 47 \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Denklemin diskrimantı $b^2-4ac$ olduğundan $b^2-4ac=47$ sağlanmasını istiyoruz. Lakin $$b^2-4ac\equiv b^2\equiv 47\equiv 3\pmod{4}$$ olur fakat hiçbir tamsayının karesi $4$'e bölündüğünde $3$ kalanı veremez. Bu yüzden bu denklemin diskrimantı $47$ olamaz.