2021 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 10

[Metin Can Aydemir]

10.1
$\dfrac{5n+27}{2n+13}$ kesiri $110$'dan küçük kaç $n$ pozitif tamsayısı için sadeleştirilebilir?

$\textbf{a)}\ 15 \qquad\textbf{b)}\ 14  \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 9 \qquad\textbf{e)}\ 10$

10.2
$\dfrac{5n+19}{2n+9}$ kesiri $100$'dan küçük kaç $n$ pozitif tamsayısı için sadeleştirilebilir?

$\textbf{a)}\ 15 \qquad\textbf{b)}\ 14  \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 9 \qquad\textbf{e)}\ 10$

10.3
$\dfrac{5n+31}{2n+15}$ kesiri $100$'dan küçük kaç $n$ pozitif tamsayısı için sadeleştirilebilir?

$\textbf{a)}\ 15 \qquad\textbf{b)}\ 14  \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 9 \qquad\textbf{e)}\ 10$

10.4
$\dfrac{5n+47}{2n+21}$ kesiri $100$'dan küçük kaç $n$ pozitif tamsayısı için sadeleştirilebilir?

$\textbf{a)}\ 15 \qquad\textbf{b)}\ 14  \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 9 \qquad\textbf{e)}\ 10$

10.5
$\dfrac{5n+44}{2n+19}$ kesiri $100$'dan küçük kaç $n$ pozitif tamsayısı için sadeleştirilebilir?

$\textbf{a)}\ 15 \qquad\textbf{b)}\ 14  \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 9 \qquad\textbf{e)}\ 10$

[taftazani44]

d|5n+27 ve d|2n+13 ise d|5(2n+13)-2(5n+27)
d|11
5n+27=11k
mod 11 de n=11x+10   (x€1,2,.....) için
n€{21,32,43,...98,109}
9 tanedir.