2021 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 05

[Metin Can Aydemir]

5.1 $$x^4-2x-13=0$$ denkleminin tüm köklerinin dördüncü kuvvetlerinin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 13 \qquad\textbf{b)}\ 2^4  \qquad\textbf{c)}\ 13^4 \qquad\textbf{d)}\ 52 \qquad\textbf{e)}\ 26$

5.2 $$x^5-3x-14=0$$ denkleminin tüm köklerinin beşinci kuvvetlerinin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 14 \qquad\textbf{b)}\ 3^5  \qquad\textbf{c)}\ 14^5 \qquad\textbf{d)}\ 70 \qquad\textbf{e)}\ 42$

5.3 $$x^5-4x-11=0$$ denkleminin tüm köklerinin beşinci kuvvetlerinin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 11 \qquad\textbf{b)}\ 4^5  \qquad\textbf{c)}\ 11^5 \qquad\textbf{d)}\ 55 \qquad\textbf{e)}\ 44$

5.4 $$x^4-5x-12=0$$ denkleminin tüm köklerinin dördüncü kuvvetlerinin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 5^4  \qquad\textbf{c)}\ 12^4 \qquad\textbf{d)}\ 48 \qquad\textbf{e)}\ 60$

5.5 $$x^4-6x-9=0$$ denkleminin tüm köklerinin dördüncü kuvvetlerinin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 6^4  \qquad\textbf{c)}\ 9^4 \qquad\textbf{d)}\ 36 \qquad\textbf{e)}\ 54$

[taftazani44]

Cevap: $\boxed{D}$
$x^4=2x+13$ denkleminin kökleri $a,b,c,d$ olsun. $$a^4=2a+13$$ $$b^4=2b+13$$ $$c^4=2c+13$$ $$d^4=2d+13$$ $$a^4+b^4+c^4+d^4=2(a+b+c+d)+4\cdot13$$ Vieta Teoreminden $a+b+c+d=0$
$$a^4+b^4+c^4+d^4=0+52=52$$