2021 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 01

[Metin Can Aydemir]

1.1 $$\dfrac{x^7-x}{x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}=6$$ eşitliğini sağlayan pozitif $x$ reel sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 7$

1.2 $$\dfrac{x^7-x}{x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}=12$$ eşitliğini sağlayan pozitif $x$ reel sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 7$

1.3 $$\dfrac{x^7-x}{x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}=20$$ eşitliğini sağlayan pozitif $x$ reel sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 7$

1.4 $$\dfrac{x^7-x}{x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}=30$$ eşitliğini sağlayan pozitif $x$ reel sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 7$

1.5 $$\dfrac{x^7-x}{x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}=42$$ eşitliğini sağlayan pozitif $x$ reel sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 7$

[Lokman Gökçe]

Yalnızca ilk sorularını çözelim. Diğerleri de benzer şekilde çözülüyor.

Çözüm 1.1 Yanıt: $\boxed{A}$


$\dfrac{x^7-x}{x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}=6$ eşitliğinde $x^7-x = x(x^6-1) = x(x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$ yazıp sadeleştirme yaparsak denklem $x(x-1)=6$ biçimine indirgenir. Pozitif kök $x=3$ bulunur.