$i)$ Eğer $|AB|=xk$ ve $|AD|=yt$ dersek, açıortaydan $|AE|=yk$ ve $|AC|=zt$ olacaktır. $AD$, $ABE$'nin açıortayı olduğundan $$|AB||AE|-|BD||DE|=|AD|^2\implies xy(k^2-1)=y^2t^2$$ elde edilir. Burada $k>1$ olduğu barizdir. Benzer şekilde $ADC$ için aynı eşitliği yazıp çarparsak $$yz(t^2-1)=y^2k^2\implies xz(k^2-1)(t^2-1)=y^2k^2t^2$$ elde edilir. $k^2t^2>(k^2-1)(t^2-1)$ olduğundan $xz>y^2$ olmalıdır.
$ii)$ Başka gönderilerde ismi olmamasından dolayı şakayla karışık kendi adımı verdiğim bir lemma vardı. Harmonik dörtlülerin genelleştirilmiş hali olan bu lemmayı verelim.
Aydemir Lemması: Bir $ABC$ üçgeninde $A$'dan geçen $2$ doğru, $A$ açısını $3$ açıya ayırıyor. Bu doğruların $[BC]$ kenarını kestiği noktalar $D$ ve $E$ olsun ($D$ noktası $B$ ve $E$'nin arasında olacak şekilde). $|BD|=x$, $|DE|=y$, $|EC|=z$ ve $m(\widehat{BAD})=\alpha$, $m(\widehat{DAE})=\beta$, $m(\widehat{EAC})=\theta$ ise, $$\frac{\sin{\beta}\sin{(\alpha+\beta+\theta)}}{\sin{\alpha}\sin{\theta}}=\frac{y(x+y+z)}{xz}$$ sağlanır.
Bu lemmanın ispatına $ABC$, $ABD$, $DAE$ ve $EAC$ üçgenlerinde sinüs teoremi uygulayarak kolayca ulaşabilirsiniz. Şimdi soruya geçecek olursak, soruda eşit açılara $\alpha$ dersek, $$\frac{y(x+y+z)}{xz}=\frac{\sin{\alpha}\sin{3\alpha}}{\sin{\alpha}\sin{\alpha}}=3-4\sin^2{\alpha}<3$$ elde edilir. Buradan $$\frac{y(x+y+z)}{xz}<3\implies 3xz>y^2+xy+yz\implies 9xz-3xy-3yz+y^2=(3x-y)(3z-y)>4y^2$$ elde edilir.
$iii)$ İlk kısımdan sinüs alan formülü ile alanın $\frac{1}{2}xzkt\sin{3\alpha}$ olduğunu kolayca görebiliriz. İkinci kısımda bulduğumuz $\sin{3\alpha}=\frac{y(x+y+z)\sin{\alpha}}{xz}$'yi de yazarsak $$S=\frac{kty(x+y+z)\sin{\alpha}}{2}$$ olur. Şimdi $k$ ve $t$'yi bulalım. Daha önce bulduğumuz $$xy(k^2-1)=y^2t^2\implies xk^2-yt^2=x$$ $$yz(t^2-1)=y^2k^2\implies zt^2-yk^2=z$$ eşitliklerini $k^2$ ve $t^2$'ye bağlı lineer denklem sistemi olarak düşünürsek, $$k^2=\frac{x(y+z)}{xz-y^2}\text{ ve }k^2=\frac{z(x+y)}{xz-y^2}\implies kt=\frac{\sqrt{xz(x+y)(y+z)}}{xz-y^2}\implies S=\frac{y(x+y+z)\sin{\alpha}\sqrt{xz(x+y)(y+z)}}{2(xz-y^2)}$$ elde edilir. Geriye sadece $\sin{\alpha}$'yı hesaplamak kaldı ki onu da $$3-4\sin^2{\alpha}=\frac{y(x+y+z)}{xz}\implies \sin{\alpha}=\sqrt{\frac{3xz-y(x+y+z)}{4xz}}$$ ile bulabiliriz. Buradan da $$S=\frac{y(x+y+z)\sqrt{(3xz-xz-y^2-yz)(x+y)(y+z)}}{4(xz-y^2)}$$ elde edilir.
Not: Eğer eşitsizliklerde $x,y,z$'den herhangi birini yalnız bırakırsak bize o değer için iki sınır verecektir. Eğer $y$'yi yalnız bırakarak hangi sınırın daha iyi olduğunu incelemek istersek ikinci eşitsizlikte daha iyi bir sınır elde ederiz. Örneğin, $x=1$ ve $z=2$ verilmiş olsun. İlk eşitsizlikten $\sqrt{2}>y$ sınırı elde edilirken, ikincide $$(3-y)(6-y)>4y^2\implies \frac{\sqrt{33}-3}{2}>y$$ sınırı elde edilir. Bu $\sqrt{2}$'den daha iyi bir üst sınırdır.
