Forumdaki geometri alanında çok iyi olan hocalarımız bu soruya yakın zamanda estetik çözümler getirecektir ama ben nispeten farklı düşünmeye iteceğini düşündüğüm bir yöntemle nasıl çözülebileceğini anlatacağım ama tam çözmeyeceğim çünkü sonlarda karmaşık ifadeler ortaya çıkıyor.
Verilmiş bir $ABC$ üçgeninin en büyük açısı genelliği bozmadan $A$ köşesinin açısı olsun. Şimdi $A$ köşesi $y$ ekseni üzerinde ve $BC$ kenarı $x$ ekseni üzerinde olacak şekilde bir koordinat düzlemi kuralım. $A$ açısı en büyük olduğu için üçgen geniş açılı olsa bile $B$ ve $C$ köşeleri zıt işaretli $x$ koordinatına sahip olacaklardır (Genelliği bozmadan $B$ köşesinin negatif tarafta olduğunu kabul edelim. Bunu yapabiliriz çünkü üçgenin yansıması alınsa da bir şey değişmeyecektir.). Ayrıca bariz bir şekilde orijin noktası $A$'dan indirilen dikmenin ayağı olacaktır. Yani diklik merkezi de $y$ ekseni üzerindedir. Köşe koordinatları $A(0,a)$, $B(-b,0)$ ve $C(c,0)$ olsun.
Lemma: Bir $ABC$ üçgeninde $A$'dan indirilen dikme ayağı ve diklik merkezi, sırasıyla $D$ ve $H$ olsun. $|AD||DH|=|BD||DC|$ sağlanır.
Benzerlikten kolaylıkla çıktığı için ispatı vermeyeceğim. Bu lemmadan ana üçgenimizin diklik merkezinin koordinatlarını $H\left (0, \frac{bc}{a}\right )$ olarak buluruz. $H$'den geçen bir doğrunun denklemini bulmamız için eğimi yeterlidir. Birbirine dik olan iki doğrunun eğimi de $m$ ve $-\dfrac{1}{m}$ formatında olacaktır. Eğimini ve geçtiği bir noktayı bildiğimizden bu doğruların denklemlerini bulabiliriz. $$d_1:~ y=mx+\dfrac{bc}{a}$$ $$d_2:~ y=-\dfrac{1}{m}x+\dfrac{bc}{a}$$
Kenarların denklemlerini de üzerindeki $2$ noktayı bildiğimizden (üçgenin köşelerinden) elde edebiliriz. $$AC:~ y=-\dfrac{a}{c}x+a$$ $$AB:~ y=\dfrac{a}{b}x+a$$ $$BC:~ y=0$$ Şimdi bu doğruların kesişim noktalarını denklemlerini çözerek bulabiliriz. Örneğin $d_1$ ile $AC$ doğrusunun kesişimini bulmak için $$y=mx+\dfrac{bc}{a}$$ $$y=-\dfrac{a}{c}x+a$$ denklem sistemini çözmek yeterlidir. uçları $\left( x_1,y_1 \right )$ ve $\left( x_2,y_2 \right )$ olan doğru parçasının orta noktası $\left( \dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2} \right )$ noktasıdır. Denklemleri çözerek kesişim noktalarını ve orta nokta formülüyle orta noktaları elde ederiz. Üç noktanın doğrusallığını ise ikişerli olarak noktaların eğimlerini hesaplayıp eşit olduğunu gösterebiliriz.
Not: Üçgenin açılarını bozmadan büyültüp küçültmemiz doğrusallıkları bozmayacağından $a$, $b$, $c$ değerlerinden biri $1$ kabul edilebilir.
