Crux 1975 Problem 27 - Trigonometri {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Problem (Léo Sauvé): Bir üçgenin açıları $A$, $B$, $C$ olsun. $A=B=45^\circ$ için
$$ \cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C = 1$$
eşitliğinin sağlandığını görmek kolaydır. Bu önermenin karşıtı doğru mudur?

[Lokman Gökçe]

Çözüm: $ABC$ üçgeninde $\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C = 1$ eşitliği sağlanıyor olsun. $0 \lt \sin C \leq 1$ olduğundan $\cos A \cos B + \sin A \sin B \geq 1$ elde edilir. Kosinüs fark formülünden $\cos (A-B) \geq 1$ olur. Fakat kosinüs sınırlı fonksiyon olup $\cos (A-B) \leq 1$ olduğunu iyi biliyoruz. Böylece $\cos (A-B) = 1$ ve $A-B=0^\circ $ elde edilir. Ayrıca bu eşitsizliklerde eşitlik durumu $\sin C = 1$ iken, yani $C=90^\circ$ durumunda sağlanır. Böylece $A=B=45^\circ $ elde edilir.