2017 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 25

[Metin Can Aydemir]

Kare şeklindeki bir $ABCD$ kartonu, şekildeki gibi, $[DC]$ üzerindeki bir $M$ ve $[AB]$ üzerindeki bir $E$ noktasından katlanıyor ve $AEMD$ yamuğunun $[EM]$'ye göre simetriği olan $A'EMD'$ yamuğu elde ediliyor. $D'MN$ üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı $3$ cm, $A'BE$ üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı ise 4 cm'dir. Buna göre, $A'NC$ üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı kaç cm'dir?

$\textbf{a)}\ 5 \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 3\sqrt{5} \qquad\textbf{e)}\ 4\sqrt{2}$

[geo]

Yanıt: $\boxed C$

$ABCD$ karesinin $ME$ doğrusuna göre simetriği $A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime$ karesi olsun. $A^\prime$ ve $D^\prime$ noktaları soruda görülüyor.
$AE = A^\prime E$, $BE=B^\prime$ olduğu için $\angle AB^\prime E = \angle A^\prime BE = 90^\circ$. $C^\prime B^\prime \perp A^\prime B^\prime$ olduğu için de $C^\prime, A, B^\prime$ noktaları doğrusaldır. Benzer şekilde $D^\prime$, $M$, $C^\prime$ doğrusaldır. $N$ nin $ME$ ye göre simetriği olan $N^\prime$ de $DA$ ile $D^\prime C^\prime$ doğrularının kesişimidir.

$A$ dan $A^\prime D^\prime$ doğrusuna inilen dikmenin ayağı $T$ olsun.
$AT=A^\prime B^\prime = AB = AD$ olduğu için $A$ merkezli $AB$ yarıçaplı çember $\triangle CNA^\prime$ nin bir dış teğet çemberidir.

$CN=x$, $CA^\prime=y$, $A^\prime N=z$ olsun.
$AC^\prime = A^\prime C = y$ dir.

Bilinen bir özellik olsa da $2\cdot AB = DC+BC = DN + NC + CA^\prime + A^\prime B = NT + NC + CA^\prime + TA^\prime = x+y+z$. Yani karenin bir kenarı $\dfrac {x+y+z}{2}$ dir.

$A^\prime B = \dfrac {x+z-y}{2}$, $D^\prime N = \dfrac {x+y-z}{2}$ olur.

$\triangle MD^\prime N$, $\triangle EBA^\prime$, $\triangle A^\prime CN$ üçgenleri benzerdir. İç teğet çemberlerinin yarıçapları sırasıyla $r_1, r_2, r$ olsun. Benzerlik oranlarını yazarsak $$\dfrac {D^\prime N}{r_1} = \dfrac {BA^\prime}{r_2} = \dfrac {CN}{r} = \dfrac {D^\prime N + BA^\prime}{r_1 + r_2}$$ elde ederiz. Buradan da $r = r_1 + r_2$ çıkar.

Bu soru özelinde $r=3+4 = 7$ olur.

[geo]

$CN=x$, $CA^\prime = y$, $NA^\prime = z$ olsun.

$D^\prime N = kx$ ve $A^\prime B = mx$ dersek, benzerlikten $DM = MD^\prime = ky$, $MN=kz$, $EB=my$, $AE = A^\prime E = mz$ olacaktır.
Karenin kenarlarını yazarsak $$my + mz = mx + y = ky + kz + x = kx + z$$ elde ederiz.
$m = \dfrac {y}{y+z-x}$ ve $k=\dfrac{z-x}{y+z-x}$, dolayısıyla $k+m = 1$ elde ederiz.

$\triangle MD^\prime N$, $\triangle EBA^\prime$, $\triangle A^\prime CN$ üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin yarıçapları sırasıyla $r_1, r_2, r$ olsun. Benzerlik oranlarını yazarsak $$\dfrac {D^\prime N}{r_1} = \dfrac {BA^\prime}{r_2} = \dfrac {CN}{r} = \dfrac {D^\prime N + BA^\prime}{r_1 + r_2}=\dfrac {x}{r} = \dfrac{kx+mx}{r_1 + r_2}$$ elde ederiz. $k+m=1$ olduğu için $r=r_1 + r_2$ olur.

Sorunun cevabı da $r = 3+4 = 7$ olacaktır.

[geo]

Söz konusu problem bir Sangakudan (bkz. Sangaku--Japanese Mathematics and Art in the 18th,19th and 20th Centuries) türetilmiş.

Yukarıdaki tablet 1813 tarihli olup Fukushima'daki Mangan-ji tapınağında sergilenmektedir. Tablette 16 problem daha yer almakta, yazarının adı da Akama Chû.

Sangaku problemlerinden derleme bir kitap: Japanese Temple Geometry Problems, H. Fukagawa, D. Pedoe, The Charles Babbage Research Center, Winnipeg, 1989


Kaynaklar:

Radius of a Circle by Paper Folding, Cut The Knot
R. Honsberger, More Mathematical Morsels, MAA, 1991, pp. 8-12
A Folded Square Sangaku Problem, Hiroshi Okumura
Origamics involving circles, Hiroshi Okumura
Haga’s theorems in paper folding and related theorems in Wasan geometry Part 1