2017 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 24

[Metin Can Aydemir]

Sekiz elemanlı $K=\{2,3,...,9\}$ kümesinin, $4$ tane ikili altkümeye parçalanmışlarını ele alalım. Bir parçalanmış içinde, en büyük ortak bölenleri $2$ olan herhangi bir ikili altküme yoksa, bu parçalanışa "iyi parçalanış" diyelim. Örneğin, $$P_1 = \{\{2, 9\}; \{3, 4\}; \{5, 7\}; \{4, 6\}\}~~\text{ve}~~ P_2 = \{\{4,8\}; \{2, 3\}; \{5, 6\}; \{9, 7\}\}$$
parçalanışları ele alınırsa, $P_2$ iyi bir parçalanıştır. $\{4, 6\}$ altkümesinden dolayı ise $P_1$ iyi parçalanış değildir. Buna göre, $K$ kümesinin kaç iyi parçalanışı vardır?

$\textbf{a)}\ 20 \qquad\textbf{b)}\ 27  \qquad\textbf{c)}\ 30 \qquad\textbf{d)}\ 36 \qquad\textbf{e)}\ 42$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Koşulu bozacak ikililere bakalım. $\{2,4\}, \{2,6\},\{2,8\},\{4,6\},\{6,8\}$ ikililerinden birinin olması durumunda iyi parçalanış olmayacaktır. Bu parçalanışlardan aynı anda olabilecekler ise $\{2,4\}$ ve $\{6,8\}$ ile $\{2,8\}$ ve $\{4,6\}$'dır. İçerme-dışarma prensibinden $$\frac{1}{4!}\dbinom{8}{2}\dbinom{6}{2}\dbinom{4}{2}-\frac{5}{3!}\dbinom{6}{2}\dbinom{4}{2}+\frac{2}{2!}\dbinom{4}{2}=36$$ bulunur.

Not: $\frac{1}{4!}$ gibi bölme yapmamızın sebebi kümelerde sıralamanın öneminin olmamasıdır.