2017 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 23

[Metin Can Aydemir]

$ABC$ üçgeninin $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarında, sırasıyla, $D$ ve $E$ noktaları alınıyor. $O$ noktası, $ABC$ üçgeninin içteğet çemberinin merkezi olmak üzere, $$|BD|\cdot |AB|=|OB|^2~~ \text{ve}~~ |CE|\cdot |AC|=|OC|^2$$
eşitlikleri sağlanıyor. $D,O,E$ noktaları doğrusal ise, üçgenin $A$ köşesindeki iç açısının ölçüsü $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 75^\circ$ ve $90^\circ$ değerlerinden kaç tanesi olabilir?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 1$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$|BO|^2=|AB||BD|$ olduğundan $ADO$ çevrel çemberini çizersek, kuvvet teoreminden $|BO|$'nun çembere teğet olması gerektiğini görürüz. Çevre açı-teğet açı ilişkisinden $m(\widehat{BAO})=\alpha$ dersek, $m(\widehat{DOB})=\alpha$ bulunur. $AO$ açıortay olduğundan $m(\widehat{OAC})=\alpha$ ve benzer şekilde $m(\widehat{EOC})=\alpha$ bulunur. Açıortayın bir özelliği olarak da $m(\widehat{BOC})=90^\circ+\alpha$ olacaktır. $D,O,E$ doğrusal olduğundan $$\alpha+(90^\circ+\alpha)+\alpha=180^\circ\implies \alpha=30^\circ$$ $$\implies m(\widehat{BAC})=2\alpha=60^\circ$$ elde edilir.