2017 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 22

[Metin Can Aydemir]

$A = \{0,1,2,3,\dots,19\}$ kümesinin boş olmayan bir $K$ altkümesi,

"Her $n\in K$ için, $K$ kümesinin $n$ elemanlı altkümesi bulunabilir."

koşulunu sağlıyorsa, $K$ altkümesine Altın altküme diyelim. Buna göre, $A$ kümesinin kaç Altın altkümesi vardır?

$\textbf{a)}\ 70 \qquad\textbf{b)}\ 72  \qquad\textbf{c)}\ 180 \qquad\textbf{d)}\ 210 \qquad\textbf{e)}\ 360$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

$K$ kümesi $m\geq 1$ elemanlı olsun. $m\neq 20$ için $K$'nın en büyük elemanı $m$ olabileceğinden $K$ kümesi $\{0,1,\dots,m\}$ kümesinin alt kümesidir ve $\dbinom{m+1}{m}=m+1$ adet olası Altın küme vardır. $m=1,2,\dots,19$ için $2+3+\dots+20=209$ küme vardır. $m=20$ için de $K=A$ şartı sağladığından $209+1=210$ Altın altküme bulunur.

Toplamda $210$ Altın altküme vardır.