2017 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 17

[Metin Can Aydemir]

Şekilde, $KD||AC$, $KC||ED$, $BE||CD$ ve $BD||AE$ olmak üzere, $$\dfrac{|AB|}{|BC|}=x$$ ise, $(2x-1)^2$ sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 5$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Paralelliklerden faydalanarak $|KD|=|AB|$, $|AK|=|BD|$, $|ND|=|BC|$, $|NB|=|DC|=|EL|$, $|ED|=|LC|=|KM|$, $|EK|=|MD|$ gibi eşitlikleri bulabiliriz. Ayrıca, $|NB|=|DC|=|EL|$ ve  $|ED|=|LC|=|KM|$ eşitliklerinden $|EN|=|LB|$ ve $|KL|=|MC|$ bulunur. Bu eşitliklerin hepsini kullanmaya gerek yok ama farklı yaklaşımlar yapılabileceği için ekledim. $$x=\frac{|AB|}{|BC|}=\frac{|KD|}{|ND|}=\frac{|KC|}{|LC|}=\frac{|KC|}{|KM|}=\frac{|AC|}{|AB|}=1+\frac{1}{x}$$ $$\implies x=\frac{x+1}{x}\implies x^2-x=1\implies 4x^2-4x+1=(2x-1)^2=5$$ elde edilir.