Cevap: $\boxed{A}$
$n+6$'nın kendisi dışında farklı en büyük bölenleri $\frac{n+6}{2}$ ve $\frac{n+6}{3}$ olabilir. Eğer bunlar tamsayı değilse en büyük bölenleri bundan daha küçük olacaktır.
Eğer toplanan bölenler aynıysa $n$ çifttir $(=2k)$ ve $k\mid 2k+6$ olacaktır. $k\mid 6$ olacağından $k\leq 6$ ve $n\leq 12$ çelişkisi elde edilir.
Eğer toplanan bölenler farklı ise $n+6$'nın kendisi toplamda olmayacağından $$n\leq \frac{n+6}{2}+\frac{n+6}{3}\implies n\leq \frac{5(n+6)}{6}\implies n\leq 30$$ elde edilir. Bu sınırı durum incelemesiyle daha da azaltabiliriz.
Eğer $6\mid n$ ise en büyük iki böleni $\frac{n+6}{2}$ ve $\frac{n+6}{3}$ olacak ve yukarıda bulduğumuz gibi $n\leq 30$ olacaktır. Buradan $n\in\{18,24,30\}$ elde edilir. Gerçekten de $n=18$ için $n=12+6$ olarak ve $n=30$ için $n=18+12$ olarak yazılabileceğinden istenilen koşulu sağlar ancak $n=24$ sağlamaz.
Eğer $6\not\mid n$ ise $\frac{n+6}{2}$ ve $\frac{n+6}{3}$'den en az biri bölen değildir. Bu durumda $$n\leq \frac{n+6}{2}+\frac{n+6}{4}=\frac{3(n+6)}{4}\implies n\leq 18$$ elde edilir. Buradan da $n\in\{13,14,15,16,17\}$ bulunur. Bunları denersek, $n=14$ için $n=4+10$ olarak yazılabilir ama diğerleri yazılamaz.
Buradan $n$'nin alabileceği değerler $n=14,18,30$ olmak üzere $3$ tanedir.
