2017 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 15

[Metin Can Aydemir]

Koordinat düzleminde, $$P_0=(0,0),~P_1=(0,2),~P_2=(2,0),~P_3=(-2,-2),~P_4=(1,1)$$ noktaları veriliyor. Bu koordinat düzleminde bir $B$ bölgesi seçiliyor. Öyle ki, bu bölgedeki herhangi bir noktanın orijine uzaklığı $P_i$, $i=1,2,3,4$ noktalarına uzaklığından küçük veya eşittir. Buna göre, bu bölgenin alanı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 6,5 \qquad\textbf{b)}\ 7,5  \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 7,2 \qquad\textbf{e)}\ 6,4$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Herhangi bir $A$ noktası için orijin ile bu noktayı birleştiren $[AP_0]$ doğru parçasının orta dikmesi, düzlemi orijine daha yakın olanlar ve $A$'ya daha yakın olan noktalar olarak ikiye ayırır. Orijinin içerildiği bölge bizim aradığımız bölgedir. Sırasıyla $P_1,P_2,P_3,P_4$ için bu bölgeleri hesaplayıp kesişimlerini alırsak istediğimiz bölge elde etmiş oluruz.

Bu doğruları hesaplarsak, $\ell_1: y=1$ doğrusu, $\ell_2: x=1$ doğrusu, $\ell_3: x+y=-2$ doğrusu ve $\ell_4: x+y=1$ doğrularını buluruz. Bu doğruları çizerek alanının çok kolay bir şekilde bulunabileceğini görebiliriz. $\ell_1,\ell_2,\ell_3$ doğrularının kesişimden oluşan üçgenin alanı $\frac{4^2}{2}=8$ ve $\ell_1,\ell_2,\ell_4$'den oluşan üçgenin alanı ise $\frac{1^2}{2}=0.5$'dir. Bu ikisini çıkartırsak asıl bölgenin alanını buluruz, o da $7.5$'dir.