2017 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 14

[Metin Can Aydemir]

$1\leq z\leq 20$ olmak üzere, $$\dfrac{1}{x}=\dfrac{y^2}{z-x+1}=\dfrac{2y}{z+1}$$ denklem sisteminin, tam sayılarda kaç $(x,y,z)$ çözüm üçlüsü vardır?

$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 7  \qquad\textbf{c)}\ 8 \qquad\textbf{d)}\ 9 \qquad\textbf{e)}\ 10$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Oran-orantı kuralından $$k=\frac{1}{x}=\frac{y^2}{z-x+1}\implies k=\frac{y^2+1}{z+1}$$ olacaktır. Dolayısıyla $y^2+1=2y$ olmalıdır. Buradan da $y=1$ bulunur. Yerine yazarsak eşitlik $$\frac{1}{x}=\frac{1}{z-x+1}=\frac{2}{z+1}\iff 2x=z+1$$ bulunur. Yani $u=1,2,\dots,10$ için $z=2u-1$ dersek, $(x,y,z)=(u,1,2u-1)$ olacaktır. $10$ farklı $u$ değeri için $10$ adet çözüm elde edilir.