2017 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 12

[Metin Can Aydemir]

$A= (2\cdot 5+\sqrt{2}) (3\cdot 6+\sqrt{2})\cdots (97\cdot 100+\sqrt{2}) (98\cdot 101+\sqrt{2})$ ve $B=(3\cdot 3-2)(4\cdot 4-2)\cdots (98\cdot 98-2)(99\cdot 99-2)$ olsun. $a$ ve $b$ tamsayılar olmak üzere, $$\dfrac{A}{B}=\dfrac{a-\sqrt{2}}{b-\sqrt{2}}$$ eşitliği varsa, $a-b$ farkı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 97 \qquad\textbf{b)}\ 98  \qquad\textbf{c)}\ 99 \qquad\textbf{d)}\ 100 \qquad\textbf{e)}\ 101$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Verilen sayıları incelersek $A=\prod_\limits{n=2}^{98} (n(n+3)+\sqrt{2})=\left[\prod_\limits{n=2}^{98} (n+2-\sqrt{2})\right]\left[\prod_\limits{n=2}^{98} (n+1+\sqrt{2})\right]$ ve $B=\prod_\limits{n=2}^{98} ((n+1)^2-2)=\left[\prod_\limits{n=2}^{98} (n+1-\sqrt{2})\right]\left[\prod_\limits{n=2}^{98} (n+\sqrt{2}+1)\right]$ olacaktır. Şimdi bu ikisini birbirine bölersek $$\frac{A}{B}=\frac{\prod_\limits{n=2}^{98} (n+2-\sqrt{2})}{\prod_\limits{n=2}^{98} (n+1-\sqrt{2})}=\frac{100-\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}$$ bulunur. $(a,b)=(100,3)$ ve $a-b=97$'dir