2017 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 10

[Metin Can Aydemir]

$x,y,z$ reel sayıları, $$x+y+z=7\sqrt{2}~~~\text{ve}~~~x^2+y^2+z^2=38$$ eşitliklerini sağlıyorlarsa, $xy$ çarpımının maksimum değeri kaç olur?

$\textbf{a)}\ 15\sqrt{2} \qquad\textbf{b)}\ 18  \qquad\textbf{c)}\ 19\sqrt{2} \qquad\textbf{d)}\ 19 \qquad\textbf{e)}\ 15$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$(x+y)^2\leq 2(x^2+y^2)$ eşitsizliğinden $$(7\sqrt{2}-z)^2\leq 2(38-z^2)\implies 3z^2-14z\sqrt{2}+22\leq 0\implies \sqrt{2}\leq z\leq \frac{11\sqrt{2}}{3}$$ olacaktır. $$xy=\frac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}{2}=\frac{(7\sqrt{2}-z)^2-(38-z^2)}{2}=z^2-7z\sqrt{2}+30$$ Bu ikinci dereceden polinomun maksimum değeri sınır değerlerinde alınır çünkü başkatsayısı pozitiftir.

$z=\sqrt{2}$ için $z^2-7z\sqrt{2}+30=18$
$z=\frac{11\sqrt{2}}{3}$ için $z^2-7z\sqrt{2}+30=\frac{50}{9}<18$ olduğundan $\max{(xy)}=18$'dir. Eşitlik durumu ise $(x,y,z)=(3\sqrt{2},3\sqrt{2},\sqrt{2})$'dir.