2017 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 08

[Metin Can Aydemir]

Her $x>0$ sayısı için, $x^3-ax+16\geq 0$ eşitsizliğinin sağlanması garanti eden $a$ sayılarının bulunduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \left (-\infty,\infty \right ) \qquad\textbf{b)}\ \left (-\infty,8 \right ]  \qquad\textbf{c)}\ \left (-\infty,10 \right ] \qquad\textbf{d)}\ \left (-\infty,12 \right ] \qquad\textbf{e)}\ \left (-\infty,16 \right ]$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Eğer $a\leq 0$ ise $$x^3-ax+16\geq x^3+16>0$$ olacaktır. Bu yüzden $a>0$ durumunu incelememiz yeterlidir.

$f:(0,\infty)\to \mathbb{R}$ için $f(x)=x^3-ax+16$ diyelim. $$f'(x)=3x^2-a$$ olacak ve $x=\pm \sqrt{\frac{a}{3}}$'de lokal ekstremum vardır. $x>0$ olduğundan tek ekstremum $x=\sqrt{\frac{a}{3}}$ olacaktır. $x\to 0^-$ ve $x\to \infty$ iken $x^3-ax+16$ pozitif olduğundan sadece $f\left(\sqrt{\frac{a}{3}}\right)\geq 0$ olmasını sağlamak yeterlidir. $$f\left(\sqrt{\frac{a}{3}}\right)=\frac{a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}-a\sqrt{\frac{a}{3}}+16=-\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}+16\geq 0\implies 24\geq a\sqrt{\frac{a}{3}}$$ $$\implies 24^2\geq \frac{a^3}{3}\implies 3\cdot 24^2=12^3\geq a^3\implies 12\geq a$$ olacaktır. Dolayısıyla $a\in (-\infty,12]$ ise her $x>0$ için $x^3-ax+16\geq 0$ olacaktır.