2017 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 07

[Metin Can Aydemir]

$$A=\dfrac{1}{100\cdot 200}+\dfrac{1}{101\cdot 199}+\dfrac{1}{102\cdot 198}+\cdots +\dfrac{1}{199\cdot 101}+\dfrac{1}{200\cdot 100} ~~\text{ve}$$ $$B=\dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{101}+\dfrac{1}{102}+\cdots+\dfrac{1}{199}+\dfrac{1}{200}$$ olmak üzere, $\dfrac{B}{A}$ oranının bir tamsayı olduğu biliniyorsa, bu tamsayının rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 9$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$A$ toplamındaki terimleri inceleyelim. $$A=\sum_{n=100}^{200}\frac{1}{n(300-n)}=\frac{1}{300}\sum_{n=100}^{200}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{300-n}\right)\implies 300A=\sum_{n=100}^{200}\frac{1}{n}+\sum_{n=100}^{200}\frac{1}{300-n}=\sum_{n=100}^{200}\frac{1}{n}+\sum_{n=100}^{200}\frac{1}{n}=2B$$ $$\implies \frac{B}{A}=150$$ bulunur. Rakamları toplamı ise $1+5+0=6$'dır.