2017 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 05

[Metin Can Aydemir]

Antalya, İzmir ve Trabzonlulardan oluşan toplam $50$ kişi, hep birlikte balık avlamaya gidiyorlar ve toplam $2500$ balık avlıyorlar. Her Trabzonlu $53$ balık avlıyor. Her İzmirli $45$ balık avlıyor. Her Antalyalı da $48$ balık avlıyor. Buna göre, balık avlamaya giden Trabzonlu sayısı kaç farklı değer olabilir?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 2$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{IPTAL}$

$a$ tane Antalyalı, $b$ tane İzmirli ve $c$ tane Trabzonlu bulunsun. Bu durumda $$a+b+c=50$$ $$48a+45b+53c=2500\implies 45(a+b+c)+3a+8c=2250+3a+8c=2500$$ $$\implies 3a+8c=250$$ olacaktır. $$3a+8c\equiv -c\equiv 250\equiv 1\pmod{3}\implies c\equiv 2\pmod{3}$$ $$3a+8c\equiv 3a\equiv 250\equiv 2\pmod{8}\implies a\equiv 6\pmod{8}$$ Eğer $k,m\geq 0$ için $a=8k+6$ ve $c=3m+2$ yazarsak $$24k+18+24m+16=250\implies 24(k+m)=216\implies k+m=9$$ olacaktır. Ayrıca $a+c=8k+3m+8\leq 50$ olacağından $$8k+3m+8=5k+27+8\leq 50\implies 5k\leq 15\implies k\leq 3$$ elde edilir.

$k=1$ ise $m=8$ olur ve buradan $(a,b,c)=(14,10,26)$ elde edilir.

$k=2$ ise $m=7$ olur, $(a,b,c)=(22,5,23)$ olur.

$k=3$ ise $m=6$ olur, $(a,b,c)=(30,0,20)$ elde edilir.

Sorudan öğrenciler her memleketten en az bir kişi olması gerektiğini düşünebileceği için cevabın $2$ veya $3$ olduğu kesin değildir. Bu yüzden ilk başta cevap $A$ verilse de daha sonra soru iptal edilmiştir.