2017 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 04

[Metin Can Aydemir]

Masa üzerine, kırmızı, beyaz ve mavi renkli kağıt parçaları serpiştirilmiştir. Kırmızı parçalar üzerinde $7$, beyazlar üzerinde $15$ ve maviler üzerinde $28$ sayıları yazılmıştır. Üzerlerindeki sayıların toplamı $210$ olacak şekilde birkaç kağıt alınacaktır. Her renkten en az bir kağıt alınması koşuluyla en az kaç kağıt alınmalıdır?

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 13  \qquad\textbf{c)}\ 10 \qquad\textbf{d)}\ 11 \qquad\textbf{e)}\ 15$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$k$ tane kırmızı, $b$ tane beyaz, $m$ tane mavi kullanılsın. Bu durumda elimizde $$7k+15b+28m=210$$ var ve $\min(k+b+m)$'yi arıyoruz. $$7k+15b+28m\equiv 210\equiv 0\pmod{7}\implies b\equiv 0\pmod{7}$$ $b=7b_0$ yazalım. Bu durumda $$k+15b_0+4m=30$$ elde edilir. Eğer $b_0\geq 2$ ise $k+4m\leq 0$ olacağından çelişki elde edilir. $b_0=1$ ve dolayısıyla $b=7$ olmalıdır. Yerine yazarsak, $$k+4m=(k+m)+3m=15$$ olur. En küçük kağıt sayısı için $k+m$'yi de minimum seçmeliyiz. Yani $m$'yi olabildiğince büyük seçmeliyiz. $4m<15$ olduğundan $m\leq 3$ olacaktır. $m=3$ için $k=3$ elde edilir. Bu durumda da $k+b+m=13$ bulunur.