2017 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 03

[Metin Can Aydemir]

$\dfrac{1}{6}$ kesiri, pozitif iki kesrin toplamı olarak birçok şekilde yazılabilir. Örneğin, $$\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{12};~\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{15};~\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{24}~~~\text{gibi.}$$ Buna göre, $\dfrac{1}{100}$ kesiri, pozitif iki kesrin toplamı olarak kaç farklı şekilde yazılabilir? (Not: $\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{m}$ ve $\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}$ aynı yazılışı ifade eder.)

$\textbf{a)}\ 11 \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 24 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 13$

Hatırlatma: Sorudaki ufak bir hatayı düzeltmek için, kullanılan 'kesir' ifadesini $k$ pozitif tam sayı olmak üzere, $\dfrac{1}{k}$ formatındaki rasyonel sayılar olarak ele alınız.

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$\frac{1}{100}$ kesrini $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$ formatında yazmak istiyoruz. Bariz bir şekilde $m,n>100$ olmalıdır. Dolayısıyla $$\frac{1}{100}=\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m+n}{mn}\implies mn-100m-100n=0$$ $$\implies (m-100)(n-100)=10^4$$ $10^4=ab$ olan herhangi bir $a,b\geq 1$ tamsayı çifti için $(m,n)=(a+100,b+100)$ çözümü elde ederiz. $a\mid 10^4$ olduğundan $(4+1)(4+1)=25$ değer alabilir. Ancak bunların yarısında ($a=100$ hariç) simetrik çözümler gelecektir. Dolayısıyla $\frac{25-1}{2}=12$ tane simetrik çözümü atmalıyız. Geriye $25-12=13$ çözüm kalır.