2017 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 01

[Metin Can Aydemir]

En az iki basamaklı olup, bütün rakamları aynı olan ve tam dört tane pozitif böleni olan sayılara kolay sayı diyelim. Örneğin $11111=41\cdot 271$ bir kolay sayıdır. Buna göre, $10^5$'den küçük olan kaç kolay sayı vardır?

$\textbf{a)}\ 7 \qquad\textbf{b)}\ 11  \qquad\textbf{c)}\ 9 \qquad\textbf{d)}\ 10 \qquad\textbf{e)}\ 18$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Sayımız $10^5$'den küçük olduğundan $2,3,4$ veya $5$ basamaklı olabilir. Ayrıca bir sayının dört böleni olması için asal çarpanlarına ayrılmış hali $p^3$ veya $pq$ şeklinde olmalıdır.

$i)$ Sayı $2$ basamaklıysa, sayımız $\overline{aa}$ olsun. $\overline{aa}=11\cdot a$'dır. Bu sayı $p^3$ formunda olamayacağından $pq$ formundadır, buradan $a$ sayısı asal sayı bulunur. İki basamaklı kolay sayılar, $22,33,55,77$'dir.

$ii)$ Sayı $3$ basamaklıysa, $\overline{aaa}=111\cdot a=3\cdot 37\cdot a$ şeklindedir. Sayı hali hazırda iki asal çarpan içerdiğinden $a=1$ olmalıdır. Üç basamaklı tek kolay sayı, $111$'dir.

$iii)$ Sayı $4$ basamaklıysa, $\overline{aaaa}=1111\cdot a=11\cdot 101\cdot a$ şeklindedir. Benzer şekilde iki asal çarpan içerdiğinden $a=1$ olmalıdır. Dört basamaklı tek kolay sayı, $1111$'dir.

$iv)$ Sayı $5$ basamaklıysa, $\overline{aaaaa}=11111\cdot a=41\cdot 271\cdot a$ şeklindedir, bu çarpanlara ayrılmış hali soruda zaten verilmiştir. Benzer şekilde iki asal çarpan içerdiğinden $a=1$ olmalıdır. Beş basamaklı tek kolay sayı, $11111$'dir.

$10^5$'den küçük tüm kolay sayılar, $22,33,55,77,111,1111,11111$ olup $7$ tanedirler.