2018 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 25

[Metin Can Aydemir]

$[0,1]$ aralığında azalmayan olup, her $x\in [0,1]$ için, $$f(x)+f(1-x)=1~~~\text{ve}~~~f(x)=2f\left(\dfrac{x}{3}\right)$$ koşullarını sağlayan bir $f$ fonksiyonunun varlığını kabul edelim. $f\left(\dfrac{5}{8}\right)$ değeri kaçtır?

(Hatırlatma: $u\leq v$ olan her $u,v\in[0,1]$ için, $f(u)\leq f(v)$ olursa, $f$ fonksiyonuna azalmayan denir.)

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{2} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{3}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{2}{3} \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{3}{4}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

İkinci eşitlikte $x=0$ yazarsak $f(0)=2f(0)$ bulunur, buradan $f(0)=0$ bulunur, ilk eşitlikte de $x=0$ yazarsak $f(1)=1$ bulunur. İkinci denklemde de $x=1$ yazarsak $f\left (\dfrac{1}{3}\right )=\dfrac{f(1)}{2}=\dfrac{1}{2}$ olduğunu elde ederiz. Tekrar ilk denklemde $x=\dfrac{1}{3}$ yazarsak $f\left (\dfrac{2}{3}\right )=\dfrac{1}{2}$ bulunur. Fonksiyon azalmayan olduğunu ve $\dfrac{1}{3}<\dfrac{5}{8}<\dfrac{2}{3}$ olduğunu kullanırsak $$f\left (\dfrac{1}{3}\right )=\dfrac{1}{2}\leq f\left (\dfrac{5}{8}\right )\leq f\left (\dfrac{2}{3}\right )=\dfrac{1}{2}\Rightarrow f\left (\dfrac{5}{8}\right )=\dfrac{1}{2}$$ buluruz.