2018 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 24

[Metin Can Aydemir]

$a,b$ ve $c$ reel sayılar olmak üzere, $$f(x)=\dfrac{a}{x^2+1}+\dfrac{b}{x^2+2}+\dfrac{c}{x^2+3}-\dfrac{1}{x^2}$$ fonksiyonu için, $f(1)=f(2)=f(3)=0$ eşitlikleri sağlamaktadır. Buna göre, $(m,n)=1$ olmak üzere, $f(4)=\dfrac{m}{n}$ ise, $m$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 36 \qquad\textbf{b)}\ 31  \qquad\textbf{c)}\ 35 \qquad\textbf{d)}\ 34 \qquad\textbf{e)}\ 38$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Verilen fonksiyonda payda eşitleyelim. $$f(x)=\dfrac{ax^2(x^2+2)(x^2+3)+bx^2(x^2+1)(x^2+3)+cx^2(x^2+1)(x^2+2)-(x^2+1)(x^2+2)(x^2+3)}{x^2(x^2+1)(x^2+2)(x^2+3)}$$ olur. Paydaki polinoma $P(x)$ diyelim. $P(1)=P(2)=P(3)=0$ olacağından $x=1$,$x=2$ ve $x=3$ bu polinomun kökleridir. Ayrıca polinom çift polinom olduğundan $P(x)=P(-x)$ olacaktır ki buradan anlaşılır ki $x=-1$, $x=-2$ ve $x=-3$ de bu polinomun köklerindendir. Polinomun derecesi en fazla $6$ olabileceği görülebilir ve $6$ tane kökünü bulduğumuzdan tüm kökleri bulduğumuz köklerdir. Köklerden yola çıkarak $P(x)$ polinomunu yeniden yazabiliriz. $$P(x)=A(x^2-1)(x^2-4)(x^2-9)$$ formatında olmalıdır. Elde ettiğimiz $P(x)$ polinomlarının açılımında $x=0$ yazarsak $$P(0)=-36A=-6\Rightarrow A=\dfrac{1}{6}$$ bulunur. Buradan $f$ fonksiyonunu da bulabiliriz. $$f(x)=\dfrac{(x^2-1)(x^2-4)(x^2-9)}{6x^2(x^2+1)(x^2+2)(x^2+3)}$$ elde ederiz. $x=4$ için $f(4)=\dfrac{35}{3\cdot 16\cdot 17\cdot 19}$ olacaktır. $EBOB(35,3\cdot 16\cdot 17\cdot 19)=1$ olduğundan $\boxed{m=35}$ bulunur.