2018 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 23

[Metin Can Aydemir]

$a_0=1$ ve ve her $n\in\mathbb{N}$ için, $$a_{n+1}=a_n+\sqrt{a_{n+1}+a_n}$$ bağlantısıyla verilen $a_n$ dizisi için, $\dfrac{a_{50}}{a_{100}}$ reel sayısının, virgülden sonraki ilk basamağı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 9 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ 2$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$a_{n+1}=a_n+\sqrt{a_{n+1}+a_n}\geq a_n$ olduğundan dizi azalmayan bir dizidir. Hatta buradan $a_{n+1}=a_n+\sqrt{a_{n+1}+a_n}\geq a_n+\sqrt{2a_n}\geq a_n+\sqrt{2a_0}>a_n$ olduğunu elde ederiz ki böylece dizi artan dizidir diyebiliriz. Şimdi eşitliği düzenleyelim, $$(a_{n+1}-a_n)^2=a_{n+1}+a_n\Rightarrow a_{n+1}^2-a_{n+1}(2a_n+1)+(a_n^2-a_n)=0\Rightarrow a_{n+1}=\dfrac{2a_n+1\pm \sqrt{8a_n+1}}{2}$$ bulunur. $a_{n+1}>a_n$ olduğundan $a_{n+1}=\dfrac{2a_n+1+ \sqrt{8a_n+1}}{2}$ olmalıdır. Köklü ifadeden kurtulmak için $t\geq \dfrac{1}{2}$ için $\sqrt{8a_n+1}=2t-1$ diyelim. Buradan $a_n=\dfrac{t^2-t}{2}$ ve $a_{n+1}=\dfrac{t^2+t}{2}=\dfrac{(t+1)^2-(t+1)}{2}$ bulunur. $a_0=\dfrac{t_0^2-t_0}{2}=1$ dersek $t_0=2$ bulunur. Buradan hemen gözlemleyebiliriz ki $a_n=\dfrac{(n+2)^2-(n+2)}{2}=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$ olmalıdır. Buradan, $$\dfrac{a_{50}}{a_{100}}=\dfrac{51\cdot 52}{101\cdot 102}=\dfrac{26}{101}=0.257\dots$$ bulunur. Virgülden sonraki ilk rakam $\boxed{2}$ bulunur.