2018 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 22

[Metin Can Aydemir]

Pozitif $x,y$ ve $z$ sayıları, $$(x+y+z)+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+6=2(\sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}+\sqrt{2z+1})$$ denklemini sağlıyorsa, $xyz$ çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 3+\sqrt{2} \qquad\textbf{b)}\ 5+7\sqrt{2}  \qquad\textbf{c)}\ 7+5\sqrt{2} \qquad\textbf{d)}\ 5+
3\sqrt{2} \qquad\textbf{e)}\ 3+5\sqrt{2}$

[AtakanCİCEK]

Yanıt: $\boxed{C}$

Bize verilen denklemi düzenleyelim.  Dikkat edilirse pozitif reel sayılar ifadesi ve $3$ tane bilinmeyenle verilmiş. Bu nedenle

Aritmetik Ortalama-Geometrik Ortalama eşitsizliği akla gelmelidir.

Şimdi ise $$x+\dfrac{1}{x}+2\ge \sqrt{2x+1}$$ olduğunu göstermeliyiz.

$A.O\ge G.O$ olduğunu kullanalım.

$$\dfrac{x+\dfrac{2x+1}{x}}{2}\ge \sqrt{2x+1}$$

Diğerleri için de yapıp düzenlersek 

$$(x+y+z)+(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})+6\ge 2(\sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}+\sqrt{2z+1})$$

Eşitlik durumu ise $x=\dfrac{2x+1}{x}$ , $y=\dfrac{2y+1}{y}$ ve $z=\dfrac{2z+1}{z}$

$x^2=2x+1$ denkleminin pozitif reel kökü Gümüş Oran ($\sqrt{2}+1$ ) olarak adlandırılmaktadır. $x.y.z=δ^3$  ifadesini derlemeliyiz.

$δ^2=2δ+1$ olduğunu kullanalım.  $δ^3=δ.δ^2=δ.(2δ+1)=2.(2δ+1)+δ=5δ+2=7+5\sqrt{2}$ olarak bulunur.