2018 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 21

[Metin Can Aydemir]

Kenarları $|AB|=5$, $|BC|=6$ ve $|CA|=7$ olan bir $ABC$ üçgeninin içinde bir $P$ noktası alınıyor ve $P$ noktasından, üçgeninin $[BC]$, $[CA]$ ve $[AB]$ kenarlarına sırasıyla $[PD]$, $[PE]$ ve $[PF]$ dikmeleri çiziliyor. Buna göre, $$\dfrac{|BC|}{|PD|}+\dfrac{|CA|}{|PE|}+\dfrac{|AB|}{|PF|}$$ toplamının en küçük değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{9\sqrt{6}}{2} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{6\sqrt{6}}{2} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{10\sqrt{6}}{2} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{11\sqrt{6}}{2}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Antalya-2015 sınavındaki 25. soruda verilen toplamın en küçük değerinin $P$ noktası, iç teğet çemberin merkeziyken alındığını göstermiştik. O kısmın ispatını 2015 senesinin çözümlerinden bulabilirsiniz.

$P$ noktası iç teğet çemberin merkeziyken $|PD|=|PE|=|PF|=r$ (iç teğet çemberin yarıçapı) olur. İstenilen toplam ise $$\dfrac{|BC|}{|PD|}+\dfrac{|CA|}{|PE|}+\dfrac{|AB|}{|PF|}=\frac{5}{r}+\frac{6}{r}+\frac{7}{r}=\frac{18}{r}$$ olacaktır. $S$ ve $u$ ile sırasıyla verilen üçgenin alanını ve yarıçevresini gösterelim. Bu durumda $ur=S$ olduğundan $9r=S$ olacaktır. Heron formülünden, $$S=\sqrt{u(u-5)(u-6)(u-7)}=\sqrt{9\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=6\sqrt{6}\implies r=\frac{S}{9}=\frac{6\sqrt{6}}{9}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$$ bulunur. İstenilen toplam ise $\frac{18}{r}=\frac{9\sqrt{6}}{2}$ elde edilir.