Cevap: $\boxed{A}$
Eğer $n$ tekse, tüm bölenleri tek olması gerektiğinden $b$, $c$ ve $d$ tek olmalıdır fakat $n=b^4+c^3+d^2+9$ çift olur, bu bir çelişkidir.
Dolayısıyla $n$ çift olmalıdır. $n$ çift olduğundan $1$'den farklı en küçük pozitif böleni $2$'dir. $b=2$ olması gerekir. Buradan $n=c^3+d^2+25$ elde edilir. $n$ çift olduğundan $c$ ve $d$'den biri çift diğeri tek olmalıdır.
$i)$ $c$ çiftse $c=4$ olmalıdır çünkü $c=2m$ ise $m$ de $n$'nin bir böleni olacaktır. Dolayısıyla ya $m=1$ ya da $m=2$ bulunur. $c>2$ olduğundan $m=2$ ve dolayısıyla $c=4$ olmalıdır. $c=4$ yazarsak $n=d^2+89$ olur. $d$ sayısı $n$'yi böldüğünden $89$ sayısını da bölmelidir. $d>c=4$ olduğundan $d=89$ bulunur. $n=8010$ elde edilir fakat $5|8010$ olduğundan bölenlerin sıralamasında $5$'in de yer alması gerekir ama $1<2<4<89$ sıralaması olduğundan $5$, $4$ ile $89$ arasında yer almalıdır fakat bu $d=89$ olmasıyla çelişir.
$ii)$ $c$ tekse $d$ çifttir. $c$ tek olduğundan ve kendisinden küçük tek asal bölen olmadığından asal sayı olmalıdır.
$iia)$ $c=3$ ise $n=d^2+52$ olur. $n$, $3$ ile bölüneceğinden $d^2+52\equiv 0 \pmod{3}$ ve buradan $d^2\equiv 2\pmod{3}$ bulunur. Bu bir çelişkidir.
$iib)$ $c\geq 5$ ise bölen sıralaması $1<2<c$ olarak başlayıp devam ettiğinden $4$ sayısı bölenlerden birisi olamaz. Dolayısıyla $n$ sayısı $4k+2$ formatındadır. Dolayısıyla $d$ sayısı da $4$ ile bölünemez. Dolayısıyla $m$ tek bir sayı olmak üzere $d=2m$ formatında olmalıdır. $m$ sayısı da $n$'nin bir böleni olacağından $m=1$ veya $m=c$ olabilir. $d>c$ olduğundan $m=c$ ve dolayısıyla $d=2c$ olmalıdır. Yerine yazarsak $n=c^3+4c^2+25$ olur. Bu ifade $c$ ile bölündüğünden $c$, $25$'in böleni olmalıdır. $c=1$ veya $c=25$ olamayacağı barizdir çünkü $c=1$ için $c\geq 5$ şartı sağlanmaz ve $c=25$ olursa $n$ sayısı $5$ ile bölünecektir fakat bölen sıralamasında $5$ olmaz. Dolayısıyla $c=5$ ve $d=10$ olmalıdır. Bu durumda şartı sağlayan tek $n$ sayısı $250$ olur. Bu sayının da $8$ tane pozitif böleni vardır.
