Cevap: $\boxed{A}$
$[AB]$ kenarını içeren üçgenler sadece $ABC$ ve $ABD$'dir. Bu üçgenlerin farklı $5$ kenarı vardır ve kullanılmayan tek kenar $[CD]$'dir. Bunu kullanarak eleme yapacağız.
$ABC$ ve $ABD$'de en uzun kenar $[AB]$ olduğundan üçgen eşitsizliğinde sadece $|AC|+|BC|>40$ ve $|AD|+|BD|>40$'ı incelememiz yeterlidir. $8,12,19$'a bakalım. Eğer bunlardan biri $|CD|$ değilse, $|AC|,|BC|,|AD|,|BD|$'den üçü bunlardan olmalıdır. Ancak nasıl dağıtılırsa dağıtılsın $12+19<40$ olduğundan iki üçgenden birinde üçgen eşitsizliği sağlanmayacak ve çelişki elde edeceğiz.
Dolayısıyla $|CD|$ uzunluğu $8,12,19$'dan biri olmalıdır.
$i)$ Eğer $|CD|=19$ ise $8+12<40$ olduğundan $8$ ve $12$ uzunluğundaki kenarlar farklı üçgenlerde olmalıdır. Genelliği bozmadan $ABC$ üçgeninin bir kenarı $8$ olsun. $8$ ve $40$'ı kenar alabilecek tek üçgen $8-35-40$ üçgeni olduğundan $ABC$ üçgeni $8-35-40$; $ABD$ üçgeni ise $12-26-40$ üçgeni olmalıdır. $ABD$ üçgen eşitsizliğine uymaz, çelişki.
$ii)$ Eğer $|CD|=8$ ise benzer şekilde $12$ ve $19$ farklı üçgenlerde olmalıdır. $12-26-40$ üçgen oluşturmadığından, genelliği bozmadan $ABC$ üçgenini $12-35-40$ alabiliriz. $ABD$ üçgeni ise $19-26-40$ üçgeni olacaktır.
$iia)$ Eğer $12$ ile $19$ çapraz kalıyorsa (herhangi bir üçgende aynı anda kenar değilse), $12$ ile $26$ çapraz kalmayacak ve $|CD|=8$ ile üçgen oluşturacaktır. Ancak üçgen eşitsizliği sağlanmaz, çelişki.
$iib)$ Eğer $12$ ile $19$ çapraz kalmıyorsa, $35$ ile $26$ da kalmayacaktır. Bu durumda $8-26-35$ bir üçgen oluşturmalıdır ama üçgen eşitsizliği sağlanmaz, çelişki.
Geriye sadece $|CD|=12$ durumu kalır. Dolayısıyla $\boxed{|CD|=12}$ olmalıdır.
