2018 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 10

[Metin Can Aydemir]

$a<b<c$ sayıları, $x^3-3x^2+(2-m)x+m=0$ denkleminin kökleri olsun.$$(a^2-4a-c^2)^2$$ ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 9  \qquad\textbf{c)}\ 16 \qquad\textbf{d)}\ 25 \qquad\textbf{e)}\ 49$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$x=1$ denklemi sağladığından ifadeyi $(x-1)$'e bölebiliriz. $$x^3-3x^2+(2-m)x+m=(x-1)(x^2-2x-m)$$ olur. Kökler $1,x_1,x_2$ olsun. Vieta teoreminden $x_1+x_2=2$ bulunur. Eğer $a=1$ ise $b+c> 2a=2$ olacağından çelişki elde edilir. Benzer şekilde $c=1$ ise $a+b<2c=2$ olur. Dolayısıyla $b=1$ olmak zorundadır. $a+c=2$ ve $ac=-m$ olmalıdır. $$a^2-4a-c^2=(a-2)^2-c^2-4=(a+c-2)(a-c-2)-4=-4$$ bulunur. Dolayısıyla, $(a^2-4a-c^2)^2=(-4)^2=16$'dır.