2018 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 09

[Metin Can Aydemir]

$p,q$ ve $r$ asal sayıları, $p+q=(p-q+r)r$ eşitliğini ve $p+q<123$ eşitsizliğini sağlıyorlar. Buna göre, $pqr$ çarpımının en büyük değerinin rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 19 \qquad\textbf{b)}\ 13  \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 17$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$i)$ $p$ ve $q$'in ikisi de çiftse $\text{mod}~2$'den $r$ de çift bulunur. $(p,q,r)=(2,2,2)$ şartı sağlar ama en büyük çarpım olmayacağı açıktır.

$ii)$ $p$ ve $q$'dan sadece biri çiftse $p+q$ tek fakat $(p-q+r)r$ çift olacaktır. Çelişki.

$iii)$ $p$ ve $q$ tek ise, $r$ tek olamaz çünkü $$p+q\equiv 0 (\text{mod}~2)$$ $$r(p-q+r)\equiv 1(\text{mod}~2)$$ olur. Dolayısıyla $r=2$ olmalıdır. $r=2$ için, $$p+q=2(p-q+2)\Rightarrow p+4=3q$$ olur. Buradan $$p+q=4q-4<123\Rightarrow q<31,75$$ bulunur. Çarpımın en büyük değeri için en büyük olası $q$ asalını seçmeliyiz. $q=31$ için $p=89$ bulunur. $pqr=89\cdot 31\cdot 2=5518$ bulunur. Rakamları toplamı $5+5+1+8=19$'dur.