2018 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 08

[Metin Can Aydemir]

$a_n=\dfrac{n^2+3}{n^2+n-3}$ genel terimiyle verilen $a_n$ dizisi için, $K=\{a_i:i\in[1,2018]\}$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2012 \qquad\textbf{b)}\ 2016  \qquad\textbf{c)}\ 2014 \qquad\textbf{d)}\ 2015 \qquad\textbf{e)}\ 2017$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$a_1,a_2,\dots, a_{2018}$ sayıları $K$ kümesinin elemanlarıdır fakat bir kümede aynı elemanlar bir kez sayıldığından, $a_m=a_n$ fakat $m\neq n$ olan $(m,n)$ ikililerini bulup onlardan birini kümeden çıkarmalıyız. $$a_m=a_n\Leftrightarrow \dfrac{m^2+3}{m^2+m-3}=\dfrac{n^2+3}{n^2+n-3}\Leftrightarrow (m-n)(mn-6m-6n-3)=0$$ olur fakat $m\neq n$ olduğundan $mn-6m-6n-3=0$ durumuna bakmalıyız. Genelliği bozmadan $m>n$ olsun diyebiliriz. $$mn-6m-6n-3=0\Rightarrow (m-6)(n-6)=39$$ bulunur. $39$'u çarpanlarına ayırıp $m$ ve $n$'leri bulabiliriz. Buradan $(m,n)=(45,7),(19,9)$ ikilileri bulunur yani $a_{7}=a_{45}$ ve $a_{9}=a_{19}$'dur. Dolayısıyla bunları kümede $2$ kez saymış oluruz. İki tane ikili olduğundan $K$'nın $2018-2=2016$ tane elemanı vardır.

Not: $n^2+n-3=0$ durumu hiçbir tamsayı için sağlanmadığından bu durum küme eleman sayısını etkilemez ve yaptığımız işlemlerde bir sorun oluşmaz.