2018 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 06

[Metin Can Aydemir]

Alanı $50$ br$^2$'den büyük olan dikdörtgen şeklindeki bölge, hepsinin kenar uzunluğu $1$ br olan kare şeklindeki parkelerle döşenmiştir. Bölgenin sınırlarına siyah renkli kareler ve içine de beyaz renkli kareler kullanılmıştır. Siyah ve beyaz renkli karelerin sayısı eşit ise, dikdörtgen bölgenin alanı kaç birim karedir?

$\textbf{a)}\ 52 \qquad\textbf{b)}\ 54  \qquad\textbf{c)}\ 56 \qquad\textbf{d)}\ 58 \qquad\textbf{e)}\ 60$

[ERhan ERdoğan]

Yanıt : $\boxed{E}$

$m\times n$ boyutlarında ki dikdörtgen yüzey birim kareler ile kaplandığında,
siyah karelerin sayısı : $2(m+n)-4$
beyaz karelerin sayısı : $(m-2)(n-2)$
olacaktır.
$2(m+n)-4=(m-2)(n-2) \Rightarrow  n=4-\dfrac{24}{m+4}$ olup $mn > 50$ koşulu altında $m=20 , n=3$ olarak bulunur.
Buna göre dikdörtgensel bölgenin alanı $mn=60$ olur.