2018 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 05

[Metin Can Aydemir]

Pozitif bölenlerinin çarpımı $12^{90}$ olan sayının, pozitif bölenlerinin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 30855 \qquad\textbf{b)}\ 10200  \qquad\textbf{c)}\ 819 \qquad\textbf{d)}\ 61831 \qquad\textbf{e)}\ 3751$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

PBS, pozitif bölen sayısı olmak üzere, $A$ sayısının pozitif bölenleri çarpımı $A^{\frac{PBS}{2}}$'dir. Pozitif bölenlerinin çarpımı $12^{90}=2^{180}\cdot 3^{90}$ olduğundan bu sayının asal bölenleri sadece $2$ ve $3$ olabilir. $x=2^a\cdot 3^b$ dersek, $$12^{90}=2^{180}\cdot 3^{90}=(2^a\cdot 3^b)^{\frac{(a+1)(b+1)}{2}}\Rightarrow \dfrac{180}{90}=\dfrac{\dfrac{a(a+1)(b+1)}{2}}{\dfrac{b(a+1)(b+1)}{2}}=\dfrac{a}{b}\Rightarrow a=2b$$ bulunur. $2$ veya $3$'ün kuvvetlerinden birini eşitlersek, $$180=\dfrac{a(a+1)(b+1)}{2}=b(b+1)(2b+1)\Rightarrow b=4$$ bulunur. Yani sayımız $x=2^{8}\cdot 3^{4}$'dir. Pozitif bölenleri toplamı, $$(1+2+2^2+\cdots+2^8)(1+3+3^2+3^3+3^4)=61831$$ bulunur.