2018 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 04

[Metin Can Aydemir]

$x$ ve $y$ pozitif tamsayılar olmak üzere, $x-y=9$ ve $OKEK(x,y)=10098$ olduğuna göre, $x+y$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 603 \qquad\textbf{b)}\ 540  \qquad\textbf{c)}\ 621 \qquad\textbf{d)}\ 594 \qquad\textbf{e)}\ 702$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$EBOB(x,y)=d$ olsun. $EBOB(x_1,y_1)=1$ olmak üzere, $x=d\cdot x_1$ ve $y=d\cdot y_1$ yazabiliriz. $x-y=d\cdot(x_1-y_1)=9$'dan görülebilir ki $d$; $1,3,9$'dan biridir.

Eğer $d=1$ ise $EKOK(x,y)=xy=10098=2\cdot 3^3\cdot 11\cdot 17$'dir. $x$ ve $y$ aralarında asal olduğundan ve farkı $3$'ün katı olduğundan ikisi de üçün katı olamazlar. Dolayısıyla çarpımları $3$'e bölünemez. Çelişki.

Eğer $d=3$ ise $EKOK(x,y)=3x_1y_1=2\cdot 3^3\cdot 11\cdot 17$ olur. $x_1-y_1=3$ olacağından ve aralarında asal olacağından hem $x_1$, hem de $y_1$, $3$'ün katı olamaz dolayısıyla $3^3$ çarpanı elde edilemez. Çelişki. Dolayısıyla $d=9$ olmalıdır.

$d=9$ ise $x_1-y_1=1$ ve $EKOK(x,y)=9x_1y_1=2\cdot 3^3\cdot 11\cdot 17$ bulunur. Buradan $$x_1y_1=2\cdot 3\cdot 11 \cdot 17=33\cdot 34$$ bulunur. Yani $x_1=34$ ve $y_1=33$'dür. Buradan da, $$x+y=9\cdot 34+9\cdot 33=603$$ bulunur.