2018 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 03

[Metin Can Aydemir]

$x=1111\cdot 10^{11}$, $y=77777\cdot 10^5$ ve $z=111111$ ise, $$\sqrt[3]{\dfrac{x+y+z}{3}}$$ tamsayısının rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 16 \qquad\textbf{b)}\ 15  \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ 18 \qquad\textbf{e)}\ 19$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Verilen sayıları $10$'un kuvvetleri şeklinde yazalım, $x=\dfrac{10^4-1}{9}\cdot 10^{11}$, $y=\dfrac{7\cdot(10^5-1)}{9}\cdot 10^5$ ve $z=\dfrac{10^6-1}{9}$'dir. Bunları yerine yazarsak, $$\sqrt[3]{\dfrac{x+y+z}{3}}=\sqrt[3]{\dfrac{10^{15}-10^{11}+7\cdot 10^{10}-7\cdot 10^5+10^6-1}{27}}$$ $10^{11}=10\cdot 10^{10}$ ve $10^6=10\cdot 10^5$ yazıp düzenlersek, $$\sqrt[3]{\dfrac{x+y+z}{3}}=\sqrt[3]{\dfrac{10^{15}-3\cdot 10^{10}+3\cdot 10^5-1}{27}}=\sqrt[3]{\dfrac{(10^5-1)^3}{27}}=\dfrac{10^5-1}{3}=33333$$ bulunur. Rakamları toplamı $3+3+3+3+3=15$'dir.