2018 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 01

[Metin Can Aydemir]

$K=\sqrt{9-\sqrt{65}}(\sqrt{13}-\sqrt{5})(9+\sqrt{65})$ sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ 16\sqrt{2} \qquad\textbf{b)}\ 17\sqrt{2}  \qquad\textbf{c)}\ 18 \qquad\textbf{d)}\ 18\sqrt{2} \qquad\textbf{e)}\ 18\sqrt{5}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$\sqrt{9-\sqrt{65}}=\dfrac{\sqrt{18-2\sqrt{65}}}{\sqrt{2}}$'dir. $18=13+5$ ve $65=13\cdot 5$ olduğundan $$\dfrac{\sqrt{18-2\sqrt{65}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{13}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$$ olur. Yerine yazarsak, $$K=\dfrac{(\sqrt{13}-\sqrt{5})^2(9+\sqrt{65})}{\sqrt{2}}=\dfrac{2(9-\sqrt{65})(9+\sqrt{65})}{\sqrt{2}}=\dfrac{32}{\sqrt{2}}=16\sqrt{2}$$