2019 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 25

[Metin Can Aydemir]

Yukarıdaki şekilde $ABCD$ bir kare, $K,L,M,N$ noktaları doğrusal ve $D,L,M,P,C$ noktaları bir düzgün sekizgenin ardışık köşeleridir. $|KD|=1$ br ise $ABNK$ dörtgeninin alanı kaç br$^2$'dir?

$\textbf{a)}\ 2+2\sqrt{2} \qquad\textbf{b)}\ 3+2\sqrt{2}  \qquad\textbf{c)}\ 4+2\sqrt{2} \qquad\textbf{d)}\ 5+2\sqrt{2} \qquad\textbf{e)}\ 6+2\sqrt{2}$

[AtakanCİCEK]

Yanıt: $\boxed{B}$

$ABNK \cong CDKN$ olduğunu görelim. Çünkü $4$ açısı ve $[AB]$ ve $[KN]$ olmak üzere $2$ kenarı eştir. $\mid BN \mid =1$ ,$\mid AK\mid =x $ olsun. $S(ABNK)=\dfrac{(x+1)^2}{2}$  istendiğini görelim.

$[MC]$ ve $[NP]$  doğru parçalarını çizelim. Düzgün sekizgen yardımıyla açıları yazarsak $\mid MP \mid = \mid PC \mid$ ve $m(\widehat{MPC})=2m(\widehat{MNC})$  olduğundan $P$  noktası $MNC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezidir. Düzgün sekizgenin bir kenarına $k$ diyelim.

İkizkenarlıklar kullanılarak $\mid NP \mid = \mid PC \mid=k$ ve $NPC$ üçgeni $(22,5$  , $135$   ,  $22,5)$ açılarına sahip olduğu görülür.


$KLD$ üçgennde sinüs teoreminden,
$$\dfrac{k}{\sin(112,5)}=\dfrac{1}{\sin(45)}$$ Buradan $k=\sqrt{2}.\sin(112,5)$  olarak bulunur.


$PNC$ üçgeninde sinüs teoreminden ,

$$\dfrac{k}{\sin(22,5)}=\dfrac{x}{\sin135}$$

Eşitlikte $k$ yı yerine koyarsak 

$$x\sqrt{2}.\sin(22,5)=\sqrt{2}.\sin(112,5)$$

$$x=\tan(67,5)= δ=\sqrt{2}+1$$ olarak bulunur.

Yerine koyarsak $S=\dfrac{(2+\sqrt{2})^2}{2}=3+2\sqrt{2}$ olarak bulunur.


Sonuç: Bir Karenin içine karenin kenarlarından biri düzgün sekizgenin en uzun köşegeni olacak şekilde yerleştirildiğinde  düzgün sekizgenin bir kenarını uzatırsak karenin kenarını gümüş ($δ$) olarak böler.

[AtakanCİCEK]

Sade bir çözümünü daha bırakayım.

$ABNK \cong CDKN$ olduğu görülür.  $K$ dan $[BC]$ ye yükseklik çizelim ve ayağını $H$ alalım. $\mid HC \mid =\mid BN \mid =1$ olur. $\mid NH \mid = a $  olsun. O halde $\mid KH \mid = a. ( \sqrt{2}+1)$ olur. $\mid BC \mid = \mid KH \mid $ olduğunu kullanalım.

$$ a\sqrt{2}+a=a+2$$ , $a=\sqrt{2}$ olarak bulunur.

$S=\dfrac{(x+1)^2}{2}$  olduğunu söylemiştik. $x=a+1=\sqrt{2}+1$ olduğundan $S=3+2\sqrt{2}$  olarak bulunur.

[Seyit Çetin]

25.soru