2019 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 23

[Metin Can Aydemir]

Antalya'dan İstanbul'a giden $A,B,C$ ve $D$ otobüsleri, sabit hızla molasız yolculuk yapmaktadırlar. $A$ otobüsü, $B,C$ ve $D$ otobüsleri ile, sırasıyla, saat $09:00$, $10:00$ ve $11:00$'da yanyana gelmiştir. Diğer taraftan, $D$ otobüsü de $B$ ve $C$ ile sırasıyla $13:00$ ve $15:00$'da yanyana gelmiştir. Buna göre, $B$'nin $C$ ile yanyana geldiği saat kaçtır? (Not: Otobüsler aynı anda yolculuğa başlamak zorunda değildir. Yanyana gelmeler aynı gün içerisinde gerçekleşmiştir.)

$\textbf{a)}\ 12:20 \qquad\textbf{b)}\ 10:40  \qquad\textbf{c)}\ 11:20 \qquad\textbf{d)}\ 12:00 \qquad\textbf{e)}\ 11:40$

[Erdal1122]

A otobüsünün hızı a,
B otobüsünün hızı b,
C otobüsünün hızı c,
D otobüsünün hızı d olsun. Ya a>b>c>d ve Antalya'ya olan mesafeleri D>C>B>A 'dır ya da d>c>b>a ve Antalya'ya olan mesafeleri A>B>C>D olabilir. Biz ilk durumu alıp denklemlerimizi yazalım. Sorunun çözümünde de görülecektir ki ikinci durumu kabul etmemiz bir şey değiştirmez.

A ve B yan yana olduğu zaman C ile aralarındaki mesafeyi hızlar cinsinden ifade edelim. (h B ile C'nin yan yana olduğu saatle A ile B'nin yan yana olduğu saat arasındaki farktır.)

 (a-c).1=(b-c).h *

Aynı şekilde iki otobüs yan yanayken ve ileride başka otobüs varken saatler ve hızlarla denklemler kurduğumuzda;

(a-d).1=(c-d).5 **

(b-d)[13-(9+h)]=(c-d)[15-(9+h)] ***

(a-d).2=(b-d).4 **** elde edilir.

**** denkleminden d=2b-a elde edilir.
** denkleminde yerine yazarsak c=8b-3a elde edilir.
* denkleminde de c 'yi yazarsak 4a-8b=h.(3a-7b)
*** denkleminde de c 'yi ve d 'yi yazalım. 16a-40b=h.(3a-7b)

Buradan 4a-8b=16a-40b yazıp b 'yi çekersek b=3/8 a elde ederiz. 4a-8b 'li denkleme yazalım.
4a-3a=h.(3a-21/8a) 'dan h=a/(3/8a)=8/3 bulunur. Bizden 9+h 'ı istiyor. 9+8/3 yani 11 saat 40 dakika cevaptır.

Yanıt: E